一.概念
公倍数(common multiple)是指在两个或两个以上的自然数中,如果它们有相同的倍数,这些倍数就是它们的公倍数.公倍数中最小的,就称为这些整数的最小公倍数.
二.求解方法
质因数分解
把几个数先分别分解质因数,再把各数中的全部公有的质因数和独有的质因数提取出来连乘,所得的积就是这几个数的最小公倍数.
例如:求6和15的最小公倍数.先分解质因数,得6=2×3,15=3×5,6和15的全部公有的质因数是3,6独有质因数是2,15独有的质因数是5,2×3×5=30,30里面包含6的全部质因数2和3,还包含了15的全部质因数3和5,且30是6和15的公倍数中最小的一个,所以[6,15]=30.
短除法
求最大公约数,先用这几个数的公约数连续去除,一直除到所有的商两两互质为止,然后把所有的除数和商连乘起来,所得的积就是这几个数的最小公倍数.短除法的本质就是质因数分解法,只是将质因数分解用短除符号来进行.
短除符号就是除号倒过来.短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数,然后落下两个数被公有质因数整除的商,之后再除,以此类推,直到结果互质为止(两个数互质).
三.应用
有一些砖,长宽高分别是15cm、12cm、6cm,请问怎样摆,摆成最小正方体边长为多少厘米?
解:15、12、6的最小公倍数是60,所以最小的正方体棱长为60
例题:求1085和1178的最大公约数.
答案:31.【解析】1085=5×217=5×7×31,1178=31×38=31×2×19.
所以最大公约数为31
例题:桌子上放有三根绳子,长度分别是120厘米、160厘米、240厘米,现在要把它们截成相等的小段,每段都不能有剩余,那么最少可截成多少段?( )
A.13 B.12 C.11 D.10
答案:A.解析: "截成相等的小段,每段都不能有剩余",即为求三数的公约数,"最少可截成多少段",进一步引导你求出最大公约数.每小段的长度是120、160、240的约数,即是120、160和240的公约数.120、160和240的最大公约数是40,所以每小段的长度最大是40厘米,一共可截成3+4+6=13段.所以,选择答案A.
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